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arrow_back Aula 05 - Matrizes – parte 2

Determinantes de Matrizes de Ordem Qualquer

Determinantes de matrizes de ordem maiores que três são calculados utilizando métodos que decompõem a matriz original em matrizes de ordens menores para as quais os determinantes podem ser calculados com maior facilidade. Um método bastante conhecido é o Teorema de Laplace, um procedimento de decomposição que pode ser aplicado a qualquer matriz $A_{m \times n}$. O procedimento descrito pelo Teorema de Laplace utiliza o conceito de cofator. O cofator de um elemento $a_{ij}$, $cof(a_{ij})$, é dado por:

$$cof(a_{ij})=(−1)^{i+j} \cdot \det (A_{ij})$$

onde $A_{ij}$ é a matriz obtida quando eliminamos a $i$-ésima linha e a $j$-ésima coluna de $A$. Como exemplo de cálculo de cofatores, considere a seguinte matriz:

$$ A_{(4 \times 4)} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix} $$

e seus cofatores

$$ cof(a_{12}) = (-1)^{1+2} \cdot \det \left( \begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix} \right) \text{ e } \\ cof(a_{22}) = (-1)^{2+2} \cdot \det \left( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix} \right) $$

Como $A_{ij}$ é uma matriz de ordem $n - 1$, podemos calcular $\det(A_{ij})$ aplicando-se o Teorema de Laplace repetidamente até chegarmos a um determinante que possa ser calculado por um procedimento simples. Parece complicado, mas com um pouco de prática você vai tirar de letra esses cálculos.


Exemplo 2

Qual o valor do cofator $cof(a_{13})$ da matriz a seguir?

$$ A_{(4 \times 4)} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 20 & 0 \\ 3 & 7 & 23 & 6 \\ 5 & 8 & 2 & 0 \\ 9 & 2 & 5 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Solução

De acordo com o que discutimos anteriormente, temos que:

$$ cof(a_{13}) = (-1)^{1+3} \cdot \det \left( \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) $$

Sabemos do Exemplo 1 que

$$ \det \left( \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = -383 $$

Dessa forma, podemos afirmar que:

$$cof(a_{13}) = (-1)^{1+3} \cdot (-383) = (-1)^{4} \cdot (-383) =\\ 1 \cdot (-383) = -383$$

Portanto, $cof(a_{13}) = -383$.

Agora que você já sabe como calcular o cofator de um elemento de matriz, vamos explicar como aplicar o Teorema de Laplace, que vai nos permitir calcular o determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem. Inicialmente, devemos escolher uma linha ou coluna da matriz original. O determinante será dado pela soma dos produtos de cada um dos elementos da linha ou coluna escolhida por seu respectivo cofator. Assim, para uma matriz de quarta ordem, o cálculo do determinante, a partir da primeira linha, será dado pela seguinte expressão:

$$ \det \left( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix} \right) = \\ a_{11} \cdot cof(a_{11}) + a_{12} \cdot cof(a_{12}) + a_{13} \cdot cof(a_{13}) + a_{14} \cdot cof(a_{14}) $$

Portanto, o problema de calcular o determinante de uma matriz de quarta ordem se reduz ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem (um para cada cofator). Observe que quanto mais elementos nulos existirem na linha ou coluna escolhida, menor o número de cofatores que teremos que efetivamente calcular. Generalizando, para uma matriz quadrada de ordem $n$ e considerando o cálculo com base em sua primeira linha, o determinante será dado pela seguinte expressão:

$$ \sum_{j=1}^{n} = (a_{ij} \cdot cof(a_{ij})) $$

Exemplo 3

Qual o determinante da seguinte matriz?

$$ A_{( 4 \times 4)} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 20 & 0 \\ 3 & 7 & 23 & 6 \\ 5 & 8 & 2 & 0 \\ 9 & 2 & 5 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Solução

Como a matriz apresentada é de quarta ordem, calcularemos seu determinante utilizando o Teorema de Laplace. Escolheremos a primeira linha da matriz como base para o cálculo do determinante (pois, dentre todas as linhas e colunas, é a que possui mais zeros). Dessa forma, temos que

$$ \det \left( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 20 & 0 \\ 3 & 7 & 23 & 6 \\ 5 & 8 & 2 & 0 \\ 9 & 2 & 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = a_{11} \cdot cof(a_{11}) + a_{12} \cdot cof(a_{12}) +\\ a_{13} \cdot cof(a_{13}) + a_{14} \cdot cof(a_{14}) $$ $$ = 0 \cdot cof(a_{11}) + 0 \cdot cof(a_{12}) + 20 \cdot cof(a_{13}) + 0 \cdot cof(a_{14}) $$

Note que a escolha da primeira linha simplifica nosso cálculo, já que o valor do determinante dependerá apenas do cofator $cof(a_{13})$,uma vez que os demais cofatores podem ser ignorados, pois seus valores serão multiplicados por zero. Então, fique sempre ligado na linha ou coluna que tenha o maior número de zeros para diminuir o seu trabalho!

Do Exemplo 2, sabemos que $cof(a_{13}) = -383$. Dessa forma, temos que:

$$ \det \left( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 20 & 0 \\ 3 & 7 & 23 & 6 \\ 5 & 8 & 2 & 0 \\ 9 & 2 & 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = 0 \cdot cof(a_{11}) + 0 \cdot cof(a_{12}) +\\ 20 \cdot cof(a_{13}) + 0 \cdot cof(a_{14}) $$ $$ = 0 + 0 + 20 \cdot cof(a_{13}) + 0 $$ $$ = 20 \cdot (-383) $$ $$ = -7660 $$ $$ \text{portanto, } \det \left( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 20 & 0 \\ 3 & 7 & 23 & 6 \\ 5 & 8 & 2 & 0 \\ 9 & 2 & 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = -7660 $$

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