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Normalmente, os operadores ocorrem em situações mais complexas do que as apresentadas anteriormente. Assim, conhecer as equivalências nos permite simplificar as expressões booleanas em alguns casos. Uma expressão é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas. Agora, vamos aprender quais são as principais equivalências lógicas:
| 1 - Dupla negação | ∼(∼p)≡p |
| 2 - Elemento neutro da conjunção | p∧ verdadeiro ≡p |
| 3 - Elemento absorvente da conjunção | p∧ falso ≡ falso |
| 4 - Elemento neutro da disjunção | p∨ falso ≡p |
| 5 - Elemento absorvente da disjunção | p∨ verdadeiro ≡ verdadeiro |
| 6 - Silogismo hipotético | p→q,q→r⇒p→r |
| 7 - Dilema construtivo | p→q,r→s,p∨r⇒q∨s |
| 8 - Dilema destrutivo | p→q,r→s,(∼q)∨(∼s)⇒(∼p)∨(∼r) |
| 9 - Contrapositiva | p→q≡(∼q)→(∼p) |
| 10 - Condicional para inclusiva | p→q≡(∼p)∨q |
| 11 - Disjunção inclusiva para condicional | p∨q≡∼p→q |
| 12 - Disjunção exclusiva para condicional | p⊕q≡∼p↔q |
| 13 - Leis de Morgan |
∼(p∨q)≡(∼p)∧(∼q) ∼(p∧q)≡(∼p)∨(∼q) |
| 14 - Negação da condicional | ∼(p→q)≡p∧(∼q) |
| 15 - Bicondicional para condicionais | p↔q≡(p→q)∧(q→p) |
| 16 - Negação da bicondicional | ∼(p↔q)≡p⊕q |
Além das tabelas-verdade, essas equivalências também podem ser provadas por dedução a partir dos operadores mais básicos.
Com base na tabela de equivalências apresentada, dizer que “Pedro não é azarado” ou “o gato é preto” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
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