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arrow_back Aula 05 - Matrizes – parte 2

Propriedades de um Determinante

A seguir, mostramos algumas propriedades de determinantes para matrizes quadradas de ordem $n \ge 2$:

  • Dada uma matriz identidade $I_n$, $\det(I_{n})= 1$.
  • Se uma linha ou coluna de $A$ é composta de zeros, então, $\det(A) = 0$.
  • Se duas linhas ou colunas de $A$ são iguais, então, $\det(A) = 0$.
  • Se uma matriz quadrada de ordem $n$ possui duas linhas (ou colunas) $m$ e $l$, tais que uma é múltipla da outra, ou seja, $a_{mj}=k \cdot a_{li}$, $j \in 1 \cdot \cdot \ n (a_{im}=k \cdot a_{il}, i \in l \cdot \cdot \ n)$ então, $\det(A)=0$.
  • Dada uma matriz $A$, seu determinante é igual ao de sua transposta: $\det(A) = \det(A^{T})$.
  • Se $A$ é uma matriz triangular superior ou inferior de ordem $n$, então,
    $$\det(A) = \prod_{i=1}^{n}a_{ii}$$
  • Se ao multiplicar uma linha ou coluna de $A$ por um número $k$, obtemos $B$, então, $\det(B)=k \cdot \det(A)$.
  • Se $B=k \cdot A$ para algum número $k$, então, $\det(B)=kn \cdot \det(A)$, sendo $n$ a ordem da matriz $A$.
  • Se $A$ e $B$ são matrizes quadradas da mesma ordem, então, $\det(A \cdot B)=\det(A) \cdot \det(B)$.
  • Se ao permutarmos duas linhas ou colunas de $A$, obtemos $B$, $\det(B) = -\det(A)$.

Essas propriedades são importantes porque nos permitem simplificar o cálculo de determinantes.


Atividade 01

  1. Para testar seus conhecimentos, calcule os determinantes das seguintes matrizes:
    1. $ \begin{bmatrix} 45 \\ \end{bmatrix} $

    2. $ \begin{bmatrix} 54 & 12 \\ 70 & 21 \\ \end{bmatrix} $

    3. $ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 6 \\ 8 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} $

    4. $ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 6 \\ 1 & 0 & 5 & 0 \\ 8 & 4 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} $

Matriz de Cofatores e Matriz Adjunta

Dada uma matriz quadrada $A_{m \times n}$, sua matriz adjunta, denotada por $adj(A)$, é a transposta da matriz de cofatores de $A$, $cof(A)$:

$$adj(A) = (cof(A))^{T}$$ $$ \text{onde } cof \left( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} cof(a_{11}) & cof(a_{12}) & \cdots & cof(a_{1m}) \\ cof(a_{21}) & cof(a_{22}) & \cdots & cof(a_{2m}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ cof(a_{m1}) & cof(a_{m2}) & \cdots & cof(a_{mn}) \\ \end{bmatrix} $$

Exemplo 4

Dada a matriz $A=\begin{bmatrix}3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0\\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$ qual matriz corresponde à $adj(A)$?

Solução

Primeiro, devemos calcular a matriz de cofatores:

$$adj(A) = (cof(A))^{T}$$ $$ cof \left( \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = \\ \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 8 & 0\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix} \right) & (-1)^{1+2} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 5 & 0\\ 9 & 1\\ \end{bmatrix} \right) & (-1)^{1+3} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 5 & 8\\ 9 & 2\\ \end{bmatrix} \right) \\ (-1)^{2+1} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 7 & 6\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix} \right) & (-1)^{2+2} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 9 & 1\\ \end{bmatrix} \right) & (-1)^{2+3} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 7\\ 9 & 2\\ \end{bmatrix} \right) \\ (-1)^{3+1} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 7 & 6\\ 8 & 0\\ \end{bmatrix} \right) & (-1)^{3+2} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 5 & 0\\ \end{bmatrix} \right) & (-1)^{3+3} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 7\\ 5 & 8\\ \end{bmatrix} \right) \\ \end{bmatrix} $$ $$ = \begin{bmatrix} 1 \cdot (8 \cdot 1 - 2 \cdot 0) & 1 \cdot (5 \cdot 1 - 9 \cdot 0) & 1 \cdot (5 \cdot 2 - 9 \cdot 8) \\ -1 \cdot (7 \cdot 1 - 2 \cdot 6) & 1 \cdot (3 \cdot 1 - 9 \cdot 6) & -1 \cdot (3 \cdot 2 - 9 \cdot 7) \\ 1 \cdot (7 \cdot 0 - 8 \cdot 6) & -1 \cdot (3 \cdot 0 - 5 \cdot 6) & 1 \cdot (3 \cdot 8 - 5 \cdot 7) \\ \end{bmatrix} $$ $$ = \begin{bmatrix} 8 & -5 & -62 \\ 5 & -51 & 57 \\ -48 & 30 & -11 \\ \end{bmatrix} $$

Em seguida, calculamos $adj(A)$ transpondo $cof(A)$:


Atividade 02

  1. Dada a matriz $\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 6 \\ 8 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$, quanto vale $adj(A)$?

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