Ponto Máximo e Ponto Mínimo

É comum que em funções de segundo grau e em funções de graus superiores ao segundo (terceiro, quarto, etc.) encontremos pontos máximos ou pontos mínimos. Esses pontos podem ser chamados de extremos da função, pois são onde a função assume o seu maior (ou menor) valor e o seu comportamento muda: se $f(x)$ estava aumentando com o aumento de $x$, passa a diminuir, ou vice-versa. Um exemplo típico é quando lançamos um objeto no ar, como podemos ver na ilustração abaixo, quando o garoto arremessa sua bola.

Olhando para o percurso da bola, vemos que ela subiu até atingir uma altura máxima (ponto máximo) e em seguida caiu. Esse movimento de Pixelota (ou de uma bola normal) é bem estudado pela Física e chamado de movimento em parábola. Podemos descrever esse movimento através de funções de $2º$ grau

Esse conceito se estende para funções bem mais complexas, e existem extensos estudos e técnicas matemáticas e computacionais para se determinar o ponto máximo ou mínimo de uma função, úteis principalmente na otimização de sistemas. Saber onde fica esse ponto crítico é importante, por exemplo, nos estudos de balística (saber exatamente a altura máxima de um míssil e onde irá cair), de construções (saber até que ponto máximo de envergamento a estrutura de um prédio irá aguentar em caso de terremoto), de produção (saber qual a quantidade mínima de matéria prima usada para se obter o máximo de produção) etc.