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arrow_back Aula 05 - Matrizes – parte 2

Inversa de uma Matriz

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Vídeo 06 - Divisão de Matrizes

Dada uma matriz quadrada Am×m, sua inversa A−1m×m é uma matriz tal que AA−1=A−1A=Im. Para que uma matriz A seja invertível, seu determinante det deve ser diferente de zero. Dada uma matriz A tal que \det(A) \neq 0 , sua inversa A^{−1} é dada por:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot adj(A)
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Vídeo 07 - Exemplo

Exemplo 5

Qual a matriz inversa de \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} ?

Solução

Essa matriz foi apresentada como exemplo quando apresentamos o cálculo dos determinantes e das matrizes adjuntas. Vimos que:

\det \left( \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = -383 \text{ e } \\ adj \left( \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 8 & 5 & -48 \\ -5 & -51 & 30 \\ -62 & 57 & -11 \\ \end{bmatrix}

portanto

\begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \left( - \frac{1}{383} \right) \cdot \begin{bmatrix} 8 & 5 & -48 \\ -5 & -51 & 30 \\ -62 & 57 & -11 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{8}{383} & -\frac{5}{383} & \frac{48}{383} \\ \frac{5}{383} & \frac{51}{383} & -\frac{30}{383} \\ \frac{62}{383} & \frac{57}{383} & \frac{11}{383} \\ \end{bmatrix}

Podemos verificar a propriedade da inversa mostrando que AA^{−1}=A^{−1}A=I_{m}

\begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{8}{383} & -\frac{5}{383} & \frac{48}{383} \\ \frac{5}{383} & \frac{51}{383} & -\frac{30}{383} \\ \frac{62}{383} & \frac{57}{383} & \frac{11}{383} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot \left(-\frac{8}{383}\right) + 7 \cdot \left(\frac{5}{383}\right) + 6 \cdot \left(\frac{62}{383}\right) & 3 \cdot \left(-\frac{5}{383}\right) + 7 \cdot \left(\frac{51}{383}\right) + 6 \cdot \left(-\frac{57}{383}\right) & 3 \cdot \left(\frac{48}{383}\right) + 7 \cdot \left(-\frac{30}{383}\right) + 6 \cdot \left(\frac{11}{383}\right) \\ 5 \cdot \left(-\frac{8}{383}\right) + 8 \cdot \left(\frac{5}{383}\right) + 0 \cdot \left(\frac{62}{383}\right) & 5 \cdot \left(-\frac{5}{383}\right) + 8 \cdot \left(\frac{51}{383}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{57}{383}\right) & 5 \cdot \left(\frac{48}{383}\right) + 8 \cdot \left(-\frac{30}{383}\right) + 0 \cdot \left(\frac{11}{383}\right) \\ 9 \cdot \left(-\frac{8}{383}\right) + 2 \cdot \left(\frac{5}{383}\right) + 1 \cdot \left(\frac{62}{383}\right) & 9 \cdot \left(-\frac{5}{383}\right) + 2 \cdot \left(\frac{51}{383}\right) + 1 \cdot \left(-\frac{57}{383}\right) & 9 \cdot \left(\frac{48}{383}\right) + 2 \cdot \left(-\frac{30}{383}\right) + 1 \cdot \left(\frac{11}{383}\right) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} e \begin{bmatrix} -\frac{8}{383} & -\frac{5}{383} & \frac{48}{383} \\ \frac{5}{383} & \frac{51}{383} & -\frac{30}{383} \\ \frac{62}{383} & -\frac{57}{383} & \frac{11}{383} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left(-\frac{8}{383}\right) \cdot 3 + \left(-\frac{5}{383}\right) \cdot 5 + \left(\frac{78}{383}\right) \cdot 9 & \left(-\frac{8}{383}\right) \cdot 7 + \left(-\frac{5}{383}\right) \cdot 8 + \left(\frac{48}{383}\right) \cdot 2 & \left(-\frac{8}{383}\right) \cdot 6 + \left(-\frac{5}{383}\right) \cdot 0 + \left(\frac{48}{383}\right) \cdot 1 \\ \left(\frac{5}{383}\right) \cdot 3 + \left(\frac{51}{383}\right) \cdot 5 + \left(\frac{48}{383}\right) \cdot 9 & \left(\frac{5}{383}\right) \cdot 7 + \left(\frac{51}{383}\right) \cdot 8 + \left(-\frac{30}{383}\right) \cdot 2 & \left(\frac{5}{383}\right) \cdot 6 + \left(\frac{51}{383}\right) \cdot 0 + \left(-\frac{30}{383}\right) \cdot 1 \\ \left(\frac{62}{383}\right) \cdot 3 + \left(-\frac{57}{383}\right) \cdot 5 + \left(\frac{11}{383}\right) \cdot 9 & \left(\frac{62}{383}\right) \cdot 7 + \left(-\frac{57}{383}\right) \cdot 8 + \left(\frac{11}{383}\right) \cdot 2 & \left(\frac{62}{383}\right) \cdot 6 + \left(-\frac{57}{383}\right) \cdot 0 + \left(\frac{11}{383}\right) \cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

Logo, comprovamos que a inversa de \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} é \begin{bmatrix} -\frac{8}{383} & -\frac{5}{383} & \frac{48}{383} \\ \frac{5}{383} & \frac{51}{383} & -\frac{30}{383} \\ \frac{62}{383} & -\frac{57}{383} & \frac{11}{383} \\ \end{bmatrix}

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Vídeo 08 - Matriz Inversa

Propriedades de uma Matriz Inversa

Dada uma matriz A invertível, temos as propriedades apresentadas a seguir.

  • O determinante de uma matriz invertível é diferente de zero. Logo, \det(A) \neq 0.
  • Sua matriz inversa A^{−1} é única.
  • Sua matriz inversa A^{−1} é também invertível e (A^{−1})^{−1}=A.
  • Sua transposta A^{T} é também invertível e (A^{T})^{−1}=(A^{−1})^{T}.
  • O produto de sua inversa por sua transposta, A^{−1}A^{T}, é também invertível.
  • Para qualquer número k, onde k \neq 0, (K \cdot A)^{−1}=k^{−1} \cdot A^{−1}.
  • Sejam A_{1},A_{2}, \cdots, A_{n}, matrizes invertíveis. Então,
    • (A1 \cdot A_{2} \cdot \ \cdots \ \cdot A_{n−1} \cdot A_{n})^{−1} = (A^{−1}_{n} \cdot A^{−1}_{n−1} \cdot \ \cdots \ \cdot A^{−1}_{2} \cdot A^{−1}_{1})
  • Seja B uma matriz tal que (A \cdot B) é invertível.Então, (A \cdot B)^{−1}=B^{−1} \cdot A^{−1}.
  • Se A tem uma inversa A^{-1}, então, \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.
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