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arrow_back Aula 05 - Matrizes – parte 2

Inversa de uma Matriz

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Vídeo 06 - Divisão de Matrizes

Dada uma matriz quadrada Am×m, sua inversa A−1m×m é uma matriz tal que AA−1=A−1A=Im. Para que uma matriz A seja invertível, seu determinante det(A) deve ser diferente de zero. Dada uma matriz A tal que det(A)≠0 , sua inversa A−1 é dada por:

A−1=1det(A)⋅adj(A)
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Vídeo 07 - Exemplo

Exemplo 5

Qual a matriz inversa de [376580921] ?

Solução

Essa matriz foi apresentada como exemplo quando apresentamos o cálculo dos determinantes e das matrizes adjuntas. Vimos que:

det([376580921])=−383 e adj([376580921])=[85−48−5−5130−6257−11]

portanto

[376580921]=(−1383)⋅[85−48−5−5130−6257−11] =[−8383−538348383538351383−30383623835738311383]

Podemos verificar a propriedade da inversa mostrando que AA−1=A−1A=Im

[376580921]⋅[−8383−538348383538351383−30383623835738311383]= [3⋅(−8383)+7⋅(5383)+6⋅(62383)3⋅(−5383)+7⋅(51383)+6⋅(−57383)3⋅(48383)+7⋅(−30383)+6⋅(11383)5⋅(−8383)+8⋅(5383)+0⋅(62383)5⋅(−5383)+8⋅(51383)+0⋅(−57383)5⋅(48383)+8⋅(−30383)+0⋅(11383)9⋅(−8383)+2⋅(5383)+1⋅(62383)9⋅(−5383)+2⋅(51383)+1⋅(−57383)9⋅(48383)+2⋅(−30383)+1⋅(11383)]= [100010001] e [−8383−538348383538351383−3038362383−5738311383]⋅[376580921]= [(−8383)⋅3+(−5383)⋅5+(78383)⋅9(−8383)⋅7+(−5383)⋅8+(48383)⋅2(−8383)⋅6+(−5383)⋅0+(48383)⋅1(5383)⋅3+(51383)⋅5+(48383)⋅9(5383)⋅7+(51383)⋅8+(−30383)⋅2(5383)⋅6+(51383)⋅0+(−30383)⋅1(62383)⋅3+(−57383)⋅5+(11383)⋅9(62383)⋅7+(−57383)⋅8+(11383)⋅2(62383)⋅6+(−57383)⋅0+(11383)⋅1]= [100010001]

Logo, comprovamos que a inversa de [376580921] é [−8383−538348383538351383−3038362383−5738311383]

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Vídeo 08 - Matriz Inversa

Propriedades de uma Matriz Inversa

Dada uma matriz A invertível, temos as propriedades apresentadas a seguir.

  • O determinante de uma matriz invertível é diferente de zero. Logo, det(A)≠0.
  • Sua matriz inversa A−1 é única.
  • Sua matriz inversa A−1 é também invertível e (A−1)−1=A.
  • Sua transposta AT é também invertível e (AT)−1=(A−1)T.
  • O produto de sua inversa por sua transposta, A−1AT, é também invertível.
  • Para qualquer número k, onde k≠0, (K⋅A)−1=k−1⋅A−1.
  • Sejam A1,A2,⋯,An, matrizes invertíveis. Então,
    • (A1⋅A2⋅ ⋯ ⋅An−1⋅An)−1=(A−1n⋅A−1n−1⋅ ⋯ ⋅A−12⋅A−11)
  • Seja B uma matriz tal que (A⋅B) é invertível.Então, (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
  • Se A tem uma inversa A−1, então, det(A−1)=1det(A).
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