Matriz Quadrada

Dizemos que A é uma matriz quadrada ou quadrática quando o número de linhas dessa matriz é igual ao seu número de colunas. Diz-se que uma matriz quadrada com m linhas e m colunas tem ordem m, simplificando a representação geral de ordem de matrizes que seria m x m, nesse caso. Uma matriz quadrada tem o seguinte aspecto geral:

Veja um exemplo de matriz quadrada de ordem 3:

Em uma matriz quadrada, os elementos alinhados a partir do canto superior esquerdo até o canto inferior direito constituem sua diagonal principal. Na matriz exemplo mostrada anteriormente, a diagonal principal é formada pelos elementos $15$, $35$ e $77$. No caso geral, a diagonal principal é formada pelos elementos $a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots, a_{mn}$, ou seja, $a_{ii}$, para todo $i \in \{1, 2, 3, \cdots , m\}$. Analogamente, a diagonal secundária de uma matriz quadrada é formada pelos elementos alinhados a partir do canto inferior esquerdo até o canto superior direito. Nessa matriz exemplo, a diagonal secundária é dada pelos elementos $55$, $35$ e $10$. No caso geral, a diagonal secundária é dada pelos elementos $a_{1m}, a_{2(m-1)}, \cdots , a_{m1}$, ou seja, $a_{i(m-i+1)}$, para todo $i \in \{1, 2, 3, \cdots, n\}$.

Matriz Triangular

Uma matriz triangular inferior é uma matriz quadrada em que todos os elementos acima de sua diagonal principal são nulos. Em outras palavras, dizemos que uma matriz quadrada é uma matriz triangular inferior quando $a_{ij}=0$ sempre que $j > i$. A seguir, apresentamos um exemplo de matriz triangular inferior de ordem $3$.

Uma matriz triangular superior é uma matriz quadrada em que todos os elementos abaixo de sua diagonal principal são nulos, isto é, $a_{ij} = 0$ sempre que $j < i$. Segue-se um exemplo de matriz triangular superior.

Exemplo 1

Considere uma propaganda de uma companhia de televisão a cabo com $3$ tipos de pacote: o pacote $1$, que custa $R\$30/mês$, o pacote $2$, que custa $R\$50/mês$ e o pacote $3$, que custa $R\$ 60/mês$.

O conteúdo de cada pacote é um subconjunto próprio do conteúdo dos pacotes superiores (conteúdo $1 \subset$ conteúdo $2\ \subset$ conteúdo $3$). A matriz triangular superior a seguir poderia ser usada por um programa computacional que diria quanto o cliente deve pagar a mais, caso queira mudar de um dado pacote para um pacote superior.

Nessa matriz, cada linha corresponde ao pacote atual do cliente e cada coluna corresponde ao pacote desejado. Note que essa matriz é triangular superior, pois $a_{21} = a_{31} = a_{a32} = 0$. Se um programa precisar calcular o que o cliente deve pagar a mais para migrar do pacote $1$ para o $3$, por exemplo, ele consultará a posição $a_{13}$, obtendo o valor $30$. Como só estamos nos preocupando com a migração para pacotes superiores, podemos colocar zeros nas casas correspondentes a migrações para pacotes inferiores, pois essas casas não serão acessadas. Se fôssemos modelar o problema completo com migrações para pacotes superiores e inferiores, essa matriz não seria mais triangular (mas bem que as companhias de TV a cabo gostariam de nos fazer migrar para pacotes inferiores pagando a mesma coisa, não é?).