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arrow_back Aula 06 - Números Binários

Uma Definição mais Geral

A notação numérica posicional requer, de maneira geral, a definição de dois objetos:

  • Uma base $B$ (que precisa ser no mínimo igual a $2$); e
  • Um conjunto de $B$ símbolos correspondentes a cada valor inteiro no intervalo que vai de $0$ a $(B−1)$.

A base utilizada em nossa sociedade é o valor $10$, e o conjunto de símbolos é composto pelos algarismos de $0$ a $9$.

Um número $s$ qualquer na notação numérica posicional é, por definição, representado por uma sequência de símbolos do conjunto citado acima. Como estamos tratando de um sistema posicional, associamos um índice à posição de cada símbolo. Se tivermos, por exemplo,

$s=abc$ (onde $a$, $b$ e $c$ são elementos do conjunto de símbolos),

escrevemos

$$s=abc$$

Essa sequência representa, em base $B$, o número:

$$s=a \cdot B^{2} + b \cdot B^{1} + c \cdot B^{0} $$

Podemos descrever $s$ de maneira ainda mais geral, chamando cada um dos símbolos da sequência que o representa na base $B$ de $b_{i}$, onde $i$ é sua posição dentro da representação. Temos então que, se cada $b_{i}$ pertence ao conjunto de símbolos que representam a base $B$,

$$s = b_{n}b_{n-1}... b_{2}b_{1}b_{0}$$

representa o número

$$\sum_{i=0}^n b_i \cdot b^i = b_{0}B^{0}+b_{1}B^{1}+...+b_{n-1}B^{n-1}+b_{n}B^{n}$$ $$\sum_{i=0}^n b_i \cdot b^i = b_{n}B^{n}+b_{n-1}B^{n-1}+...+b_{1}B^{1}b_{0}B^{0}$$

Se liga!

A representação $s = b_{n}b_{n-1}...b_{2}b_{1}b_{0}$ NÃO É UM PRODUTO! Os $b_{i}$'s são os símbolos da base $b_i$ que representam o número $s$. O número $2343$ na base $B=10$, por exemplo, tem o $b_{0} = 3$, $b_{1} = 4$, $b_{2} = 3$ e $b_{3} = 2$.

As operações da definição acima (o somatório) são realizadas em base dez. Caso o símbolo $b_i$ não corresponda diretamente a um algarismo em base dez, ele precisa ser convertido para o seu valor na base dez antes da realização da operação de multiplicação $b_{i} \cdot B_{i}$. Usualmente, quando trabalhamos com bases menores do que dez, utilizamos como símbolos o subconjunto dos algarismos de 0 até $B - 1$. Para bases maiores, costuma-se utilizar as letras do alfabeto A, B etc., respectivamente para os valores 10, 11 e assim por diante.Na base hexadecimal, por exemplo, os símbolos utilizados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F e C seria equivalente a 12 na base 10.

Bases Usuais em Computação

Em computação, usamos muito a base dez, como todo mundo, mas também usamos outras: a base 2 (sistema binário), pois é assim que números são representados na memória e no processamento do computador, e a base 16 (sistema hexadecimal), que é muito prática para apresentar uma versão mais curtinha dos números. Só para dar uma ideia, o número 15 pode ser representado em binário como

$$1111$$

e em hexadecimal como

$$F$$

Bem mais curtinho, não? Na prática, números são representados em binário dentro do computador, mas, quando é para a leitura por uma pessoa, usa-se decimal ou hexadecimal.

Nesta aula, vamos nos concentrar nos binários.

Convenção: para indicar que uma sequência de algarismos deve ser interpretada como uma representação binária, e não decimal, como seria o usual, podemos usar a convenção de usar um índice $2$ ao final da representação ou os caracteres $0B$ no seu início, como no exemplo a seguir:

$$10111_{2} \text{ ou } 0B10111$$

Esta segunda é usada especialmente em linguagens de programação, pois não precisa de recursos de formatação, como é o caso do índice.

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